Basis Bilangan Bulat

BASIS BILANGAN BULAT

Basis 3 = 0, 1, 2

Basis 7 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Basis 10 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

         Cara yang kita kenal untuk menuliskan lambang bilangan bulat adalah notasi desimal yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Lambang bilangan bulat lainnya ditulis dengna menerapkan nilai tempat dengan menggunakan lambang dasar tersebut, seperti yang telah kita kenal sejak di sekolah dasar. Penggunaan basis 10 yang biasa kita lakukan bukan satu-satunya basis untuk menuliskan lambang bilangan kemungkinan hanya karena banyak jari kita hanya 10. Bangsa babilonia menggunakan basis 60 , bangsa maya menggunakan basis 20, dan komputer menggunakan basis 2, 8 dan 16 untuk menyatakan bilangan bulat. 

Teorema 1

Misalkan b bilangan bulat positif  >1, maka setiap bilangan bulat positif  dapat ditulis secara tunggal sebagai berikut:

n = a_kb^k + a_k-1b^k-1 + a_k-2b^k-2 + ... + a₁b + a₀

dengan k suatu bilangan bulat tak negatif.  Aj suatu bilangan bulat dengan 0 ≤ aj ≤ b – 1, untuk setiap j = 0, 1, 2, 3, ... k dengan a_k ≠ 0. 

Contoh 1 :

4275 = 4 . 10³ + 2 . 10² + 7 . 10¹ + 5 . 10⁰

Contoh 2:

b = 5 → 0, 1, 2, 3, 4

n = 3 . 5⁴ + 2 . 5³ + 0 . 5² + 1 . 5¹ + 4 . 5⁰

n = 32014₅

jika 32014₅ akan diubah ke lambang basis 10, maka kita tinggal menghitung jumlahan dari perpangkatan 5 tersebut :

n = 3 . 5⁴ + 2 . 5³ + 0 . 5² + 1 . 5¹ + 4 . 5⁰

n = 3.625 + 2.125 + 0 + 5 + 4

n = 2134

jika kita ubah ke dalam bentuk basis 8, maka :

2134 = 8 . 266 + 6

         = 8 . ( 8 . 33) + 6

         = 8² . (33) + 8 . 2 + 6

         = 8² . ( 8 . 4 + 1) +8 . 2 + 6

         = 8³ . 4 + 8² . 1 + 8 . 2 + 6

         = 4126₈

Basis 10 disebut basis desimal, basis 2 disebut basis biner, basis 4 disebut dengan basis quarter, basis 8 disebut oktal, dan basis 16 disebut heksadesimal. Basis 16 mempunyai lambang dasar yaitu:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Huruf – huruf A, B, C, D, E, F digunakan untuk menyatakan angka-angka yang bersesuaian dengan 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Contoh :

2AC3₁₆ = 2 . 16³ + 10 . 16² + 12 . 16¹ + 3 . 16⁰

              = 10947

Berikut ini tabel konversi penulisan lambang bilangan desimal ( basis 10), biner (basis 2), quarter (basis 4), oktal (basis 8) dan heksadesimal (basis 16). 

Basis 10	Basis 2	Basis 4	Basis 8	Basis 16
1	1	1	1	1
2	10	2	2	2
3	11	3	3	3
4	100	10	4	4
5	101	11	5	5
6	110	12	6	6
7	111	13	7	7
8	1000	20	10	8
9	1001	21	11	9
10	1010	22	12	A
11	1011	23	13	B
12	1100	30	14	C
13	1101	31	15	D
14	1110	32	16	E
15	1111	33	17	F
16	10000	100	2C	10

latihan  

1.      100110₂ =  .... ( dalam basis 10 )

Jawab :

100110₂ = 1 . 2⁵ + 0 . 2⁴ + 0 . 2³ + 1 . 2² + 1 . 2¹ + 0. 2⁰

              = 38 ( dalam basis 10 )

2.      Tuliskan 116 dalam lambang bilangan basis 2, dengan penerapan algoritma pembagian...

Jawab :

116 = 2 . 58 + 0

  58 = 2 . 29 + 0

  29 = 2 . 14 +1

  14 = 2 . 7 +0

    7 = 2 . 3 +1

    3 = 2 . 1 +1
       =>1110100₂

3.      Tuliskan 3201₄ ke dalam basis desimal ...

Jawab

3201₄ = 3 . 4³ + 2 . 4² + 0 . 4¹ + 1 . 4⁰

           = 3 . 64 + 2 . 16 + 0 + 1

           = 192 + 32 + 0 + 1

           = 225 

4.      FA0₁₆ =  ... ( dalam basis 10)

Jawab:

FA0₁₆ = 15 . 16² + 10 . 16¹ + 0 . 16⁰

           = 15 . 256 + 10 . 16 + 0

           = 3.840 +160

           = 4000

5.      10011100₂ = 10 011 100₂

                  = 234₈