Basis Bilangan Bulat

BASIS BILANGAN BULAT

Basis 3 = 0, 1, 2

Basis 7 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Basis 10 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

         Cara yang kita kenal untuk menuliskan lambang bilangan bulat adalah notasi desimal yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Lambang bilangan bulat lainnya ditulis dengna menerapkan nilai tempat dengan menggunakan lambang dasar tersebut, seperti yang telah kita kenal sejak di sekolah dasar. Penggunaan basis 10 yang biasa kita lakukan bukan satu-satunya basis untuk menuliskan lambang bilangan kemungkinan hanya karena banyak jari kita hanya 10. Bangsa babilonia menggunakan basis 60 , bangsa maya menggunakan basis 20, dan komputer menggunakan basis 2, 8 dan 16 untuk menyatakan bilangan bulat. 

Teorema 1

Misalkan b bilangan bulat positif  >1, maka setiap bilangan bulat positif  dapat ditulis secara tunggal sebagai berikut:

n = a_kb^k + a_k-1b^k-1 + a_k-2b^k-2 + ... + a₁b + a₀

dengan k suatu bilangan bulat tak negatif.  Aj suatu bilangan bulat dengan 0 ≤ aj ≤ b – 1, untuk setiap j = 0, 1, 2, 3, ... k dengan a_k ≠ 0. 

Contoh 1 :

4275 = 4 . 10³ + 2 . 10² + 7 . 10¹ + 5 . 10⁰

Contoh 2:

b = 5 → 0, 1, 2, 3, 4

n = 3 . 5⁴ + 2 . 5³ + 0 . 5² + 1 . 5¹ + 4 . 5⁰

n = 32014₅

jika 32014₅ akan diubah ke lambang basis 10, maka kita tinggal menghitung jumlahan dari perpangkatan 5 tersebut :

n = 3 . 5⁴ + 2 . 5³ + 0 . 5² + 1 . 5¹ + 4 . 5⁰

n = 3.625 + 2.125 + 0 + 5 + 4

n = 2134

jika kita ubah ke dalam bentuk basis 8, maka :

2134 = 8 . 266 + 6

         = 8 . ( 8 . 33) + 6

         = 8² . (33) + 8 . 2 + 6

         = 8² . ( 8 . 4 + 1) +8 . 2 + 6

         = 8³ . 4 + 8² . 1 + 8 . 2 + 6

         = 4126₈

Basis 10 disebut basis desimal, basis 2 disebut basis biner, basis 4 disebut dengan basis quarter, basis 8 disebut oktal, dan basis 16 disebut heksadesimal. Basis 16 mempunyai lambang dasar yaitu:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Huruf – huruf A, B, C, D, E, F digunakan untuk menyatakan angka-angka yang bersesuaian dengan 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Contoh :

2AC3₁₆ = 2 . 16³ + 10 . 16² + 12 . 16¹ + 3 . 16⁰

              = 10947

Berikut ini tabel konversi penulisan lambang bilangan desimal ( basis 10), biner (basis 2), quarter (basis 4), oktal (basis 8) dan heksadesimal (basis 16). 

Basis 10	Basis 2	Basis 4	Basis 8	Basis 16
1	1	1	1	1
2	10	2	2	2
3	11	3	3	3
4	100	10	4	4
5	101	11	5	5
6	110	12	6	6
7	111	13	7	7
8	1000	20	10	8
9	1001	21	11	9
10	1010	22	12	A
11	1011	23	13	B
12	1100	30	14	C
13	1101	31	15	D
14	1110	32	16	E
15	1111	33	17	F
16	10000	100	2C	10

latihan  

1.      100110₂ =  .... ( dalam basis 10 )

Jawab :

100110₂ = 1 . 2⁵ + 0 . 2⁴ + 0 . 2³ + 1 . 2² + 1 . 2¹ + 0. 2⁰

              = 38 ( dalam basis 10 )

2.      Tuliskan 116 dalam lambang bilangan basis 2, dengan penerapan algoritma pembagian...

Jawab :

116 = 2 . 58 + 0

  58 = 2 . 29 + 0

  29 = 2 . 14 +1

  14 = 2 . 7 +0

    7 = 2 . 3 +1

    3 = 2 . 1 +1
       =>1110100₂

3.      Tuliskan 3201₄ ke dalam basis desimal ...

Jawab

3201₄ = 3 . 4³ + 2 . 4² + 0 . 4¹ + 1 . 4⁰

           = 3 . 64 + 2 . 16 + 0 + 1

           = 192 + 32 + 0 + 1

           = 225 

4.      FA0₁₆ =  ... ( dalam basis 10)

Jawab:

FA0₁₆ = 15 . 16² + 10 . 16¹ + 0 . 16⁰

           = 15 . 256 + 10 . 16 + 0

           = 3.840 +160

           = 4000

5.      10011100₂ = 10 011 100₂

                  = 234₈

Trigonometri

TRIGONOMETRI 

A.  Pengertian Trigonometri

      Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku.
      Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku a b c, maka definisinya adalah sebagai berikut:

B. Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa



C. Rumus-rumus Identitas Trigonometri


D. Rumus- Rumus Trigonometri



E. Aturan Trigonometri dalam Segitiga

Induksi Matematika

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian dari banyak teorema dalam teori bilangan dalam matematika. Induksi matematika juga marupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaraannya himpunaan bilangan bulat, lebih khusus himpunan bilangan asli. Misalkan pernyataan : “ p(n) adalah suatu proposisi yang berlaku untuk setiap bilangan asli n.” 

Pembuktian dari kebenaran dari pernyataan ini dengan menggunakan induksi matematika mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah1        : Ditunjukkan bahwa p(1), benar.

Langkah 2       : Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k > 1 dan di tunjukkan bahwa p ( k + 1 ), benar. 

Apabila kedua langkah berhasil, maka kita dapat menyimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah 1 disebut basis ( dasar ) induk dan langkah 2 disebut langkah induksi. 

Contoh :

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n+1)

Bukti :

Misalkan p(n) menyatakan : 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n ( n+1 )

a = 2

b = 2

Un = 2n

Sn = n(n +1) 
 a.  P(1)  => 2 = n (n+1)
                    2 = 1( 1+1)
                    2 = 1 (2) 
                    2 = 2
Jadi pembuktian P(1) benar.

            b. Diasumsikan kedalam P(k) bernilai benar.

     P(n) =>  2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n+1)

     P(k) => 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k+1) 
 c.  Akan dibuktikan bahwa P (k+1) juga bernilai benar.

     P (k+1) => 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k+1) = k+1 {(k+1) + 1}

                                            k(k+1) + 2(k+1) = (k+1) (k+2)

                                             k² + k + 2k + 2 = (k+1) (k+2)

                                                   k² + 3k + 2 = (k+1) (k+2)

                                                   (k+1) (k+2) = (k+1) (k+2)

Jadi pembuktian P(k+1) terbukti benar.

      Jika 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k+1) (k+2) maka P(k+1) bernilai benar. Sehingga untuk setiap bilanggan asli n berlaku 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n+1)

Latihan 
     1.  Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku : 1 + 2 + 3 +...+ n = ½ n (n+1).

       Bukti :

a.       P(n)  => 1+2+3+...+ n = ½ n (n+1)

b.      P(1)  => 1 = ½ n (n+1)

              1 = ½ (1) (1+1)

              1 = ½ (2)

              1 = 1

c.       P(k) => 1+2+3+...+k = ½ k (k+1) akan dibuktikan bahwa P(k+1) bernilai benar.

                      1+2+3+...+ k = ½ k (k+1)

                     k + ½ k (k+1) = ½ k (k+1)

              (k+1) + ½ k (k+1) = ½ (k+1) {(k+1) +1}

            (k+1) + ½ k² + ½ k = ½ (k+1) (k+2)

                 ½ k² + 3/2 k + 1 = ½ (k+1) (k+2)

                   ½ (k²+ 3k + 2) = ½ (k+1) (k+2)

                     ½ (k+1) (k+2) = ½ (k+1) (k+2)  =>  benar

        2.     Hitunglah 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) ?

Penyelesaian :

a = 1

b = 2

Un = 2n-1

Sn = ?

Sn = ½ n (a+Un)

     = ½ n (1+2n-1)

     = ½ n (2n)

     = n²

a.       P(n) => 1+3+5+...+(2n-1) = n²

b.      P(1) => 1 = n²

             1 = 1²

             1 = 1

c.       P(k) => 1+3+5+...+(2k-1) = k²

d.      P(k+1) => 1+3+5+...+{2(k+1)+1} = (k+1)²

                              k² + (2k+1) – 1 = (k+1)²

                                k² + (2k+2) -1 = (k+1) (k+1)

                                      k² + 2k +1 = k² + k + k + 1

                                      k²+ 2k +1 = k² + 2k +1

       3.     Hitunglah 2 + 4 + 6 + ... + ... = ...

       Penyelesaian:

2 + 4 + 6 + ... + ... = ...

a = 2

b = 2

Un = a +(n-1).b

      = 2 + (n-1) .2

      = 2 + 2n-2

      = 2n

Sn = ½ n (n+Un)

     = ½ n (n+2n)

     = ½ n (2 +2n)

     = n + n²

a.       P(n) => 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n + n²

b.      P(1) =>  2 = n + n²

              2 = 1 + 1²

              2 = 1 +1

              2 = 2

c.       P(k) = 2 + 4 + 6 +...+ 2k = k + k²

              k + k²+ 2 ( k+1) = (k+1) (k+1) (k+1)

               k + k² + 2k + 2 = (k+1) (k+1) (k+1)

                       k² + 3k +2= (k+1) (k²+ k+k+1)

                      k² + 3k +2 = k+1+ k² + k + k +1

                     k² + 3k + 2 = k² + 3k +2

NOTASI SIGMA ( ∑ )

Notasi sigma adalah penjumlahan untuk bilangan-bilangan yang teratur dapat ditulis dengan singkat dengan menggunakan notasi sigma.

Contoh :

1.   Buktikan bahwa 7ⁿ -2ⁿ terbagi habis oleh 5 untuk setiap bilangan asli n.

Bukti :

a.       P(n) => 7ⁿ – 2ⁿ terbagi habis oleh 5.

b.      P(1) => 7¹ – 2¹ terbagi habis oleh 5, benar karena 5 terbagi habis oleh 5.

c.     P(k) => diasumsikan benar 7^k – 2^k terbagi habis oleh 5. Akan dibuktikan bahwa P(k+1) yaitu : 7^k+1 – 2^k+1 juga benar.

7^k+1 – 2^k+1 = 7^k . 7¹ – k^k . 2¹

                   = 7^k . 7¹ – 2^k . 7 + 2^k . 7 – 2^k . 2¹

                   = 7 (7^k – 2^k) + 2^k (7 - 2)

                   = 7 (7^k – 2^k) + 2^k (5)

Karena 7^k – 2^k terbagi habis oleh 5, maka 7(7^k – 2^k) juga terbagi habis oleh 5.  2^k . 5 jelas terbagi habis oleh 5, sebab memiliki faktor 5. Sehingga 7(7^k – 2^k) . 2^k . 5 terbagi oleh 5. Selanjutnya dari langkah tersebut dapat disimpulkan 7^k – 2^k terbagi habis oleh 5.

Latihan 
1.      Buktikan bahwa 11ⁿ – 4ⁿ terbagi habis oleh 7 untuk setiap bilangan asli n.

Bukti :

a.       P(n) => 11ⁿ – 4ⁿ , terbagi habis oleh 7.

b.      P(1) => 11¹ – 4¹ =7, terbagi habis oleh 7.

c.       P(k) => diasumsikan benar 11^k – 4^k terbagi habis oleh 7 dan akan dibuktikan bahwa P(k+1) yaitu 11^k+1 – 4^k+1 juga benar.

d.      P(k+1) => 11^k+1 – 4^k+1 = 11^k . 11¹ – 4^k . 4¹

                                      = 11^k . 11¹ – 4^k . 11 + 4^k . 11 – 4^k . 4

                                      = 11 (11^k – 4^k ) + 4^k . 7

Karena 11^k – 4^k terbagi habis oleh 7, maka 11(11^k . 4^k) juga terbagi habis oleh 7. Dan 4^k . 7 juga terbagi habis oleh 7, sebab memiliki faktor 7. Sehingga 11(11^k  - 4^k) . 4^k . 7 terbagi habil oleh 7. Selanjutnya dari langkah – langkah tersebut dapat disimpulkan 11^k – 4^k terbagi oleh 7.

2.      Buktikan bahwa n³ – 4n + 6 terbagi habis oleh 3.

Bukti :

a.       P(n) => n³ – 4n +6 terbagi habis oleh 3.

b.      P(1) = 1² – 4 . 1 + 6

        = 1 – 4 + 6

        = 3 terbagi habis oleh 3.

c.       P(k) diasumsikan benar k³ – 4k +6 terbagi habis oleh 3. Akan dibuktikan bahwa P(k+1) yaitu (k+1)³ – 4(k+1) + 6 jiga benar.

                             (k+1)³ – 4 (k+1) + 6 = (k+1) (k+1) (k+1) -4 (k+1) +6

                                = (k³ + 2k +1) (k+1) – 4 (k+1) +6

                                = k³ + k² +2k² +2k + k +1) – 4 (k+1) +6

                                = k³ + 3k² +3k +1 – 4k – 4k – 4 +6

                                = (k³- 4k +6 ) +3k² +3k +1 – 4

                                = ( k³ – 4k + 6) +3k² +3k -3

                                = k³ – 4k + 6 + 3(k²+ k -1)

                                = 3 (k²+k – 1) + (k³ + 4k +6 )

Karena k³ – 4k +6 terbagi habis oleh 3 maka k³ – 4k +6 juga terbagi habis oleh 3. Dan 3 (k²+k – 1) jelas terbagi oleh 3.