Trigonometri

TRIGONOMETRI 

A.  Pengertian Trigonometri

      Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku.
      Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku a b c, maka definisinya adalah sebagai berikut:

B. Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa



C. Rumus-rumus Identitas Trigonometri


D. Rumus- Rumus Trigonometri



E. Aturan Trigonometri dalam Segitiga

Induksi Matematika

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian dari banyak teorema dalam teori bilangan dalam matematika. Induksi matematika juga marupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaraannya himpunaan bilangan bulat, lebih khusus himpunan bilangan asli. Misalkan pernyataan : “ p(n) adalah suatu proposisi yang berlaku untuk setiap bilangan asli n.” 

Pembuktian dari kebenaran dari pernyataan ini dengan menggunakan induksi matematika mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah1        : Ditunjukkan bahwa p(1), benar.

Langkah 2       : Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k > 1 dan di tunjukkan bahwa p ( k + 1 ), benar. 

Apabila kedua langkah berhasil, maka kita dapat menyimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah 1 disebut basis ( dasar ) induk dan langkah 2 disebut langkah induksi. 

Contoh :

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n+1)

Bukti :

Misalkan p(n) menyatakan : 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n ( n+1 )

a = 2

b = 2

Un = 2n

Sn = n(n +1) 
 a.  P(1)  => 2 = n (n+1)
                    2 = 1( 1+1)
                    2 = 1 (2) 
                    2 = 2
Jadi pembuktian P(1) benar.

            b. Diasumsikan kedalam P(k) bernilai benar.

     P(n) =>  2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n+1)

     P(k) => 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k+1) 
 c.  Akan dibuktikan bahwa P (k+1) juga bernilai benar.

     P (k+1) => 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k+1) = k+1 {(k+1) + 1}

                                            k(k+1) + 2(k+1) = (k+1) (k+2)

                                             k² + k + 2k + 2 = (k+1) (k+2)

                                                   k² + 3k + 2 = (k+1) (k+2)

                                                   (k+1) (k+2) = (k+1) (k+2)

Jadi pembuktian P(k+1) terbukti benar.

      Jika 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k+1) (k+2) maka P(k+1) bernilai benar. Sehingga untuk setiap bilanggan asli n berlaku 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n+1)

Latihan 
     1.  Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku : 1 + 2 + 3 +...+ n = ½ n (n+1).

       Bukti :

a.       P(n)  => 1+2+3+...+ n = ½ n (n+1)

b.      P(1)  => 1 = ½ n (n+1)

              1 = ½ (1) (1+1)

              1 = ½ (2)

              1 = 1

c.       P(k) => 1+2+3+...+k = ½ k (k+1) akan dibuktikan bahwa P(k+1) bernilai benar.

                      1+2+3+...+ k = ½ k (k+1)

                     k + ½ k (k+1) = ½ k (k+1)

              (k+1) + ½ k (k+1) = ½ (k+1) {(k+1) +1}

            (k+1) + ½ k² + ½ k = ½ (k+1) (k+2)

                 ½ k² + 3/2 k + 1 = ½ (k+1) (k+2)

                   ½ (k²+ 3k + 2) = ½ (k+1) (k+2)

                     ½ (k+1) (k+2) = ½ (k+1) (k+2)  =>  benar

        2.     Hitunglah 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) ?

Penyelesaian :

a = 1

b = 2

Un = 2n-1

Sn = ?

Sn = ½ n (a+Un)

     = ½ n (1+2n-1)

     = ½ n (2n)

     = n²

a.       P(n) => 1+3+5+...+(2n-1) = n²

b.      P(1) => 1 = n²

             1 = 1²

             1 = 1

c.       P(k) => 1+3+5+...+(2k-1) = k²

d.      P(k+1) => 1+3+5+...+{2(k+1)+1} = (k+1)²

                              k² + (2k+1) – 1 = (k+1)²

                                k² + (2k+2) -1 = (k+1) (k+1)

                                      k² + 2k +1 = k² + k + k + 1

                                      k²+ 2k +1 = k² + 2k +1

       3.     Hitunglah 2 + 4 + 6 + ... + ... = ...

       Penyelesaian:

2 + 4 + 6 + ... + ... = ...

a = 2

b = 2

Un = a +(n-1).b

      = 2 + (n-1) .2

      = 2 + 2n-2

      = 2n

Sn = ½ n (n+Un)

     = ½ n (n+2n)

     = ½ n (2 +2n)

     = n + n²

a.       P(n) => 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n + n²

b.      P(1) =>  2 = n + n²

              2 = 1 + 1²

              2 = 1 +1

              2 = 2

c.       P(k) = 2 + 4 + 6 +...+ 2k = k + k²

              k + k²+ 2 ( k+1) = (k+1) (k+1) (k+1)

               k + k² + 2k + 2 = (k+1) (k+1) (k+1)

                       k² + 3k +2= (k+1) (k²+ k+k+1)

                      k² + 3k +2 = k+1+ k² + k + k +1

                     k² + 3k + 2 = k² + 3k +2

NOTASI SIGMA ( ∑ )

Notasi sigma adalah penjumlahan untuk bilangan-bilangan yang teratur dapat ditulis dengan singkat dengan menggunakan notasi sigma.

Contoh :

1.   Buktikan bahwa 7ⁿ -2ⁿ terbagi habis oleh 5 untuk setiap bilangan asli n.

Bukti :

a.       P(n) => 7ⁿ – 2ⁿ terbagi habis oleh 5.

b.      P(1) => 7¹ – 2¹ terbagi habis oleh 5, benar karena 5 terbagi habis oleh 5.

c.     P(k) => diasumsikan benar 7^k – 2^k terbagi habis oleh 5. Akan dibuktikan bahwa P(k+1) yaitu : 7^k+1 – 2^k+1 juga benar.

7^k+1 – 2^k+1 = 7^k . 7¹ – k^k . 2¹

                   = 7^k . 7¹ – 2^k . 7 + 2^k . 7 – 2^k . 2¹

                   = 7 (7^k – 2^k) + 2^k (7 - 2)

                   = 7 (7^k – 2^k) + 2^k (5)

Karena 7^k – 2^k terbagi habis oleh 5, maka 7(7^k – 2^k) juga terbagi habis oleh 5.  2^k . 5 jelas terbagi habis oleh 5, sebab memiliki faktor 5. Sehingga 7(7^k – 2^k) . 2^k . 5 terbagi oleh 5. Selanjutnya dari langkah tersebut dapat disimpulkan 7^k – 2^k terbagi habis oleh 5.

Latihan 
1.      Buktikan bahwa 11ⁿ – 4ⁿ terbagi habis oleh 7 untuk setiap bilangan asli n.

Bukti :

a.       P(n) => 11ⁿ – 4ⁿ , terbagi habis oleh 7.

b.      P(1) => 11¹ – 4¹ =7, terbagi habis oleh 7.

c.       P(k) => diasumsikan benar 11^k – 4^k terbagi habis oleh 7 dan akan dibuktikan bahwa P(k+1) yaitu 11^k+1 – 4^k+1 juga benar.

d.      P(k+1) => 11^k+1 – 4^k+1 = 11^k . 11¹ – 4^k . 4¹

                                      = 11^k . 11¹ – 4^k . 11 + 4^k . 11 – 4^k . 4

                                      = 11 (11^k – 4^k ) + 4^k . 7

Karena 11^k – 4^k terbagi habis oleh 7, maka 11(11^k . 4^k) juga terbagi habis oleh 7. Dan 4^k . 7 juga terbagi habis oleh 7, sebab memiliki faktor 7. Sehingga 11(11^k  - 4^k) . 4^k . 7 terbagi habil oleh 7. Selanjutnya dari langkah – langkah tersebut dapat disimpulkan 11^k – 4^k terbagi oleh 7.

2.      Buktikan bahwa n³ – 4n + 6 terbagi habis oleh 3.

Bukti :

a.       P(n) => n³ – 4n +6 terbagi habis oleh 3.

b.      P(1) = 1² – 4 . 1 + 6

        = 1 – 4 + 6

        = 3 terbagi habis oleh 3.

c.       P(k) diasumsikan benar k³ – 4k +6 terbagi habis oleh 3. Akan dibuktikan bahwa P(k+1) yaitu (k+1)³ – 4(k+1) + 6 jiga benar.

                             (k+1)³ – 4 (k+1) + 6 = (k+1) (k+1) (k+1) -4 (k+1) +6

                                = (k³ + 2k +1) (k+1) – 4 (k+1) +6

                                = k³ + k² +2k² +2k + k +1) – 4 (k+1) +6

                                = k³ + 3k² +3k +1 – 4k – 4k – 4 +6

                                = (k³- 4k +6 ) +3k² +3k +1 – 4

                                = ( k³ – 4k + 6) +3k² +3k -3

                                = k³ – 4k + 6 + 3(k²+ k -1)

                                = 3 (k²+k – 1) + (k³ + 4k +6 )

Karena k³ – 4k +6 terbagi habis oleh 3 maka k³ – 4k +6 juga terbagi habis oleh 3. Dan 3 (k²+k – 1) jelas terbagi oleh 3.

Operasi Aljabar

assalamualaikum wr.wb.
halo teman-teman , kali ini saya akan berbagi tentang operasi bilangan bulat dan operasi aljabar. selamat belajar...

BILANGAN BULAT

         Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatif. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,… sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,… dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi secara terpisah. Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa menggunakan komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z yang berasal dari Zahlen ( bahasa jerman untuk bilangan ).

       Himpunan Z tertutup terhadap operasi penjumlahan, operasi pengurangan  dan operasi perkalian. Maksudnya jumlah, seleisih dan hasil kali dari bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat.Tetapi hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat, oleh karena itu Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian. Bilangan bulat banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satu contohnya untuk menetukan kedalaman laut, jika kita mengatakan kedalaman 20 m dibawah permukaan laut maka kita tulis -20m. Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.

        Berdasarkan garis bilangan diatas, bilangan bulat positif terletak disebelah kanan nol atau disebut dengan bilangan asli sedangkan bilangan bulat negatif terletak disebelah kiri nol.

Operasi Penjumlahan dan Perkalian Bilangan Bulat

	Penambahan	Perkalian
closure:	a + b   adalah bilangan bulat	a × b   adalah bilangan bulat
Asosiativitas:	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
Komutativitas:	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
Eksistensi unsur identitas:	a + 0  =  a	a × 1  =  a
Eksistensi unsur invers:	a + (−a)  =  0
Distribusivitas:	a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Tidak ada pembagi nol		jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)

Untuk pengurangan bilangan bulat, perhatikan model dibawah ini.

• model -a-b=-(a+b)
• model a-(-b)=a+b

Ketika kita menjumpai suatu soal maka kerjakan bagian yang ada dalam kurung selanjutnya mulai dari yang terdepan.

Operasi Aljabar : Penjumlahan suku-suku sejenis

Dalam aljabar tentunya tidak akan lepas dari variabel dibelakang angka, untuk melakukan penjumlahan pada aljabar yang bisa kita jumlahkan yaitu suku-suku sejenis artinya bilangan yang menyandang variabel sama.

contoh :

a.  2x + 3y + 4z + 2y + 3z + 4 x = ( 2x+4x)+(3y+2y)+(4z+3z) = 6x + 5y + 7z

b. 3xy - yz + 2xy = 3xy + 2xy - yz = 5xy -yz

Operasi aljabar : Perkalian suatu bilangan dengan suku dua

Untuk memahami perkalian aljabar satu suku ( misal : 3 ) dengan suku dua ( misal : ( 2+x ) perhatikan contoh berikut : 

contoh : 3 ( x + 2 ) 

dalam contoh diatas kita akan mendapatkan 2 perkalian yang pertama 3 dikalikan dengan x kemudian 3 dikalian dengan 2. didapat hasil 3x + 2.

Operasi aljabar : Perkalian suku dua dengan suku dua

Ada dua cara dalam menyelesaikan persoalan perkalian 2 suku bilangan aljabar:

cara pertama, misal : (2x + 4) (3x - 1)

cara nya yaitu dengan menjadikan perkalian satu suku di kali dua suku, dalam contoh diatas kita memperoleh dua perkalianya itu 2x dikali (3x - 1) dengan 4 dikali (3x + 1) jika ditulis secara matematis akan menjadi :

(2x + 4) ( 3x - 1)

        = 2x (3x -1) +4 (3x - 1)

        = 6x² - 2x + 12x - 4
        = 6x² + 10x - 4
cara kedua dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
(a + b) (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d

terima kasih telah mengunjungi blog saya, semoga bermanfaat...
wassalamualaikum wr.wb