Pengertian Persamaan Differensial

PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

        Persamaan Diferensial banyak digunakan oleh ilmu-ilmu lain seperti fisiska, ekonomi, dan ilmu teknik . Karena Persamaan Diferensial banyak digunakan maka Persamaan Diferensial menjadi satu bagian dari matematika yang perlu kita pelajari. Sebagai contoh dalam ilmu fisika bahwa gaya merupakan hasil kali massa dan percepatan, atau F = m.a.

         Andaikan y(t) suatu fungsi yang menyatakan geran dan yang dipengaruhi oleh waktu (t).

 v(t) = y’(t) = dy/dx .

 a(t) = v’(t) = y”(t) = d²y/dt² .

maka gaya dapat ditulis F = m . a atau F = m . d²y/dt² .

persamaan diferensialnya F – m . d²y/dt².

         Defenisi 1

Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan fungsi dari satu variabel taj bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.

Contoh:

1.      dy/dx = 2x + 10                             (y = variabel tidak bebas, x = variabel bebas)

2.      d²y/dx² + xy (dy/dx)² = 0             (y = variabel tidak bebas, x = variabel bebas)

3.      ∂v/∂s + ∂v/∂t = v                           (v = variabel tidak bebas, s dan t = variabel bebas)

4.      d⁴y/ dt⁴ + 5d²y/dt²+3x = sin t       (y = variabel tidak bebas, t = variabel bebas)

5.      ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² + ∂²v/∂z² = 0   (v = variabel tidak bebas, x,y dan z = variabel bebas)

        Sebelum menyelesaikan suatu persamaan diferensial, terlebih dahulu pilih metode yang akan digunakan. Metode penyelesaian pesamaan diferensial tergantung dari klasifikasi persamaan diferensial tersebut. Klasifikasi ini tergantung dari banyak variabelnya, pangkatnya dan ordnya.

Menurut banyak variabel tak bebasnya persamaan differensial terbagi menjadi dua macam yaitu persamaan differesial biasa dan persamaan differensial parsial.

         Defenisi 2

Persamaan differensial biasa adalah persamaan differensial yang memuat turunan biasa dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap suatu variabel bebas.

         Contoh:

Contoh pada defenisi 1 nomor 1, 2 dan 4 adalah persamaan differensial biasa. Dan pada nomor 3 dan 5 adalah persamaan differensial parsial.

         Defenisi 3

Persamaan differensial adalah persamaan differensial yang memuat turunan parsial dari satu atau lebih variabel tidak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas.

        Contoh :

1.      (s² + 1) ∂v/∂t + t ∂v/∂s = t + s

2.      α² ∂²u/∂x² = ∂u/∂t

         Defenisi 4

Ordo dari persamaan differensial adalah ordo turunan tertinggi dari turunan yang termuat dalam persamaan differensial.

         Contoh :

1.      dy/dx = 2x + 10                               (PD ordo 1, ditunjukkan oleh dy/dx)

2.      d²y/dx² + xy (dy/dx)² = 0                (PD ordo 2, ditunjukkan oleh d²y/dx²)

3.      d⁴y/dx⁴ + 5 d²y/dx² + 3x = sin t      (PD ordo 4, ditunjukkan d⁴y/dx⁴)

         Defenisi 5

Pangkat persamaan differensial adalah pangkat tertinggi dari turunan atau variabel tidak bebas yang termuat dalam persamaan differensial.