Pengertian Persamaan Differensial

PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

        Persamaan Diferensial banyak digunakan oleh ilmu-ilmu lain seperti fisiska, ekonomi, dan ilmu teknik . Karena Persamaan Diferensial banyak digunakan maka Persamaan Diferensial menjadi satu bagian dari matematika yang perlu kita pelajari. Sebagai contoh dalam ilmu fisika bahwa gaya merupakan hasil kali massa dan percepatan, atau F = m.a.

         Andaikan y(t) suatu fungsi yang menyatakan geran dan yang dipengaruhi oleh waktu (t).

 v(t) = y’(t) = dy/dx .

 a(t) = v’(t) = y”(t) = d²y/dt² .

maka gaya dapat ditulis F = m . a atau F = m . d²y/dt² .

persamaan diferensialnya F – m . d²y/dt².

         Defenisi 1

Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan fungsi dari satu variabel taj bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.

Contoh:

1.      dy/dx = 2x + 10                             (y = variabel tidak bebas, x = variabel bebas)

2.      d²y/dx² + xy (dy/dx)² = 0             (y = variabel tidak bebas, x = variabel bebas)

3.      ∂v/∂s + ∂v/∂t = v                           (v = variabel tidak bebas, s dan t = variabel bebas)

4.      d⁴y/ dt⁴ + 5d²y/dt²+3x = sin t       (y = variabel tidak bebas, t = variabel bebas)

5.      ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² + ∂²v/∂z² = 0   (v = variabel tidak bebas, x,y dan z = variabel bebas)

        Sebelum menyelesaikan suatu persamaan diferensial, terlebih dahulu pilih metode yang akan digunakan. Metode penyelesaian pesamaan diferensial tergantung dari klasifikasi persamaan diferensial tersebut. Klasifikasi ini tergantung dari banyak variabelnya, pangkatnya dan ordnya.

Menurut banyak variabel tak bebasnya persamaan differensial terbagi menjadi dua macam yaitu persamaan differesial biasa dan persamaan differensial parsial.

         Defenisi 2

Persamaan differensial biasa adalah persamaan differensial yang memuat turunan biasa dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap suatu variabel bebas.

         Contoh:

Contoh pada defenisi 1 nomor 1, 2 dan 4 adalah persamaan differensial biasa. Dan pada nomor 3 dan 5 adalah persamaan differensial parsial.

         Defenisi 3

Persamaan differensial adalah persamaan differensial yang memuat turunan parsial dari satu atau lebih variabel tidak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas.

        Contoh :

1.      (s² + 1) ∂v/∂t + t ∂v/∂s = t + s

2.      α² ∂²u/∂x² = ∂u/∂t

         Defenisi 4

Ordo dari persamaan differensial adalah ordo turunan tertinggi dari turunan yang termuat dalam persamaan differensial.

         Contoh :

1.      dy/dx = 2x + 10                               (PD ordo 1, ditunjukkan oleh dy/dx)

2.      d²y/dx² + xy (dy/dx)² = 0                (PD ordo 2, ditunjukkan oleh d²y/dx²)

3.      d⁴y/dx⁴ + 5 d²y/dx² + 3x = sin t      (PD ordo 4, ditunjukkan d⁴y/dx⁴)

         Defenisi 5

Pangkat persamaan differensial adalah pangkat tertinggi dari turunan atau variabel tidak bebas yang termuat dalam persamaan differensial.

Basis Bilangan Bulat

BASIS BILANGAN BULAT

Basis 3 = 0, 1, 2

Basis 7 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Basis 10 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

         Cara yang kita kenal untuk menuliskan lambang bilangan bulat adalah notasi desimal yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Lambang bilangan bulat lainnya ditulis dengna menerapkan nilai tempat dengan menggunakan lambang dasar tersebut, seperti yang telah kita kenal sejak di sekolah dasar. Penggunaan basis 10 yang biasa kita lakukan bukan satu-satunya basis untuk menuliskan lambang bilangan kemungkinan hanya karena banyak jari kita hanya 10. Bangsa babilonia menggunakan basis 60 , bangsa maya menggunakan basis 20, dan komputer menggunakan basis 2, 8 dan 16 untuk menyatakan bilangan bulat. 

Teorema 1

Misalkan b bilangan bulat positif  >1, maka setiap bilangan bulat positif  dapat ditulis secara tunggal sebagai berikut:

n = a_kb^k + a_k-1b^k-1 + a_k-2b^k-2 + ... + a₁b + a₀

dengan k suatu bilangan bulat tak negatif.  Aj suatu bilangan bulat dengan 0 ≤ aj ≤ b – 1, untuk setiap j = 0, 1, 2, 3, ... k dengan a_k ≠ 0. 

Contoh 1 :

4275 = 4 . 10³ + 2 . 10² + 7 . 10¹ + 5 . 10⁰

Contoh 2:

b = 5 → 0, 1, 2, 3, 4

n = 3 . 5⁴ + 2 . 5³ + 0 . 5² + 1 . 5¹ + 4 . 5⁰

n = 32014₅

jika 32014₅ akan diubah ke lambang basis 10, maka kita tinggal menghitung jumlahan dari perpangkatan 5 tersebut :

n = 3 . 5⁴ + 2 . 5³ + 0 . 5² + 1 . 5¹ + 4 . 5⁰

n = 3.625 + 2.125 + 0 + 5 + 4

n = 2134

jika kita ubah ke dalam bentuk basis 8, maka :

2134 = 8 . 266 + 6

         = 8 . ( 8 . 33) + 6

         = 8² . (33) + 8 . 2 + 6

         = 8² . ( 8 . 4 + 1) +8 . 2 + 6

         = 8³ . 4 + 8² . 1 + 8 . 2 + 6

         = 4126₈

Basis 10 disebut basis desimal, basis 2 disebut basis biner, basis 4 disebut dengan basis quarter, basis 8 disebut oktal, dan basis 16 disebut heksadesimal. Basis 16 mempunyai lambang dasar yaitu:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Huruf – huruf A, B, C, D, E, F digunakan untuk menyatakan angka-angka yang bersesuaian dengan 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Contoh :

2AC3₁₆ = 2 . 16³ + 10 . 16² + 12 . 16¹ + 3 . 16⁰

              = 10947

Berikut ini tabel konversi penulisan lambang bilangan desimal ( basis 10), biner (basis 2), quarter (basis 4), oktal (basis 8) dan heksadesimal (basis 16). 

Basis 10	Basis 2	Basis 4	Basis 8	Basis 16
1	1	1	1	1
2	10	2	2	2
3	11	3	3	3
4	100	10	4	4
5	101	11	5	5
6	110	12	6	6
7	111	13	7	7
8	1000	20	10	8
9	1001	21	11	9
10	1010	22	12	A
11	1011	23	13	B
12	1100	30	14	C
13	1101	31	15	D
14	1110	32	16	E
15	1111	33	17	F
16	10000	100	2C	10

latihan  

1.      100110₂ =  .... ( dalam basis 10 )

Jawab :

100110₂ = 1 . 2⁵ + 0 . 2⁴ + 0 . 2³ + 1 . 2² + 1 . 2¹ + 0. 2⁰

              = 38 ( dalam basis 10 )

2.      Tuliskan 116 dalam lambang bilangan basis 2, dengan penerapan algoritma pembagian...

Jawab :

116 = 2 . 58 + 0

  58 = 2 . 29 + 0

  29 = 2 . 14 +1

  14 = 2 . 7 +0

    7 = 2 . 3 +1

    3 = 2 . 1 +1
       =>1110100₂

3.      Tuliskan 3201₄ ke dalam basis desimal ...

Jawab

3201₄ = 3 . 4³ + 2 . 4² + 0 . 4¹ + 1 . 4⁰

           = 3 . 64 + 2 . 16 + 0 + 1

           = 192 + 32 + 0 + 1

           = 225 

4.      FA0₁₆ =  ... ( dalam basis 10)

Jawab:

FA0₁₆ = 15 . 16² + 10 . 16¹ + 0 . 16⁰

           = 15 . 256 + 10 . 16 + 0

           = 3.840 +160

           = 4000

5.      10011100₂ = 10 011 100₂

                  = 234₈